Al leer sobre estadísticas y matemáticas, una frase que aparece regularmente es & amp; # x201C; if y solo si.& amp; # x201D; Esta frase aparece particularmente dentro de las declaraciones de teoremas o pruebas matemáticas. Pero qué significa, precisamente, esta declaración?
¿Qué significa si y solo si significa en matemáticas??
Para entender & amp; # x201C; if y solo si, & amp; # x201D; primero debemos saber qué significa una declaración condicional. Una declaración condicional es una que se forma a partir de otras dos declaraciones, que denotaremos por P y Q. Para formar una declaración condicional, podríamos decir & amp; # x201C; si P entonces Q. & amp; # x201D;
Los siguientes son ejemplos de este tipo de afirmación:
- Si está lloviendo afuera, entonces llevo mi paraguas conmigo en mi caminata.
- Si estudias mucho, ganarás una A.
- Si n es divisible por 4, entonces n es divisible por 2.
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Converso y condicionales
Otras tres declaraciones están relacionadas con cualquier declaración condicional. Estos se llaman conversos, inversos y contrapositivos. Formamos estas declaraciones cambiando el orden de P y Q del condicional original e insertando la palabra & amp; # x201C; not & amp; # x201D; para lo inverso y contrapositivo.
Solo necesitamos considerar lo contrario aquí. Esta declaración se obtiene del original diciendo & amp; # x201C; si Q entonces P. & amp; # x201D; Supongamos que comenzamos con el condicional & amp; # x201C; si está lloviendo afuera, entonces llevo mi paraguas conmigo en mi caminata.& amp; # x201D; Lo contrario de esta declaración es & amp; # x201C; si llevo mi paraguas conmigo en mi caminata, entonces está lloviendo afuera.&erio; # x201D;
Solo necesitamos considerar este ejemplo para darnos cuenta de que el condicional original no es lógicamente el mismo que su contrario. La confusión de estos dos formularios de declaración se conoce como un error inverso. Uno podría llevar un paraguas a caminar aunque no esté lloviendo afuera.
Para otro ejemplo, consideramos el condicional & amp; # x201C; si un número es divisible por 4, entonces es divisible por 2.& amp; # x201D; Esta afirmación es claramente cierta. Sin embargo, esta declaración & amp; # x2019; s conversar & amp; # x201C; si un número es divisible por 2, entonces es divisible por 4 & amp; # x201D; es falso. Solo necesitamos mirar un número como 6. Aunque 2 divide este número, 4 no. Si bien la afirmación original es verdadera, su contrario no lo es.
Biconditional
Esto nos lleva a una declaración bicondicional, que también se conoce como & amp; quot; if y solo if & amp; quot; declaración. Ciertas declaraciones condicionales también tienen conversiones que son ciertas. En este caso, podemos formar lo que se conoce como una declaración bicondicional. Una declaración bicondicional tiene la forma:
& amp; # x201D; si P entonces Q, y si Q entonces P. & amp; # x201D;
Dado que esta construcción es algo incómoda, especialmente cuando P y Q son sus propias declaraciones lógicas, simplificamos la declaración de un biconditional usando la frase & amp; quot; if y solo si.& amp; quot; En lugar de decir & amp; quot; if P entonces Q, y si Q entonces P & amp; quot; en su lugar decimos & amp; quot; P si y solo si Q. & amp; quot; Esta construcción elimina cierta redundancia.
Ejemplo de estadísticas
Para un ejemplo de la frase & amp; # x201C; if y solo if & amp; # x201D; eso implica estadísticas, no busque más allá de un hecho relacionado con la desviación estándar de la muestra. La desviación estándar de muestra de un conjunto de datos es igual a cero si y solo si todos los valores de datos son idénticos.
Rompemos esta declaración bicondicional en condicional y inversa. Luego vemos que esta declaración significa lo siguiente:
- Si la desviación estándar es cero, todos los valores de datos son idénticos.
- Si todos los valores de datos son idénticos, la desviación estándar es igual a cero.
Prueba de Biconditional
Si estamos tratando de demostrar un bicondicional, la mayoría de las veces terminamos dividiéndolo. Esto hace que nuestra prueba tenga dos partes. Una parte que demostramos es & amp; # x201C; si P entonces Q. & amp; # x201D; La otra parte de la prueba que necesitamos es & amp; # x201C; si Q entonces P. & amp; # x201D;
Condiciones necesarias y suficientes
Las declaraciones bicondicionales están relacionadas con condiciones que son necesarias y suficientes. Considere la declaración & amp; # x201C; si hoy es Pascua, mañana es lunes.&erio; # x201D; Hoy en día, la Pascua es suficiente para que mañana sea lunes, sin embargo, no es necesario. Hoy podría ser cualquier domingo que no sea Pascua, y mañana aún sería lunes.
Abreviatura
La frase & amp; # x201C; if y solo if & amp; # x201D; se usa con suficiente frecuencia en la escritura matemática que tiene su propia abreviatura. A veces, el bicondicional en la declaración de la frase & amp; # x201C; if y solo if & amp; # x201D; se acorta a simplemente & amp; # x201C; iff.& amp; # x201D; Por lo tanto, la declaración & amp; # x201C; P si y solo si Q & amp; # x201D; se convierte en & amp; # x201C; P iff Q. & amp; # x201D;
& amp; # x203A; Matemáticas
