Una pregunta en la teoría de conjuntos es si un conjunto es un subconjunto de otro conjunto. Un subconjunto de A es un conjunto que se forma utilizando algunos de los elementos del conjunto A . Para que B sea un subconjunto de A , cada elemento de B también debe ser un elemento de A .
Cada conjunto tiene varios subconjuntos. A veces es deseable conocer todos los subconjuntos que son posibles. Una construcción conocida como el conjunto de potencia ayuda en este esfuerzo. El conjunto de potencia del conjunto A es un conjunto con elementos que también son conjuntos. Este conjunto de potencia se formó al incluir todos los subconjuntos de un conjunto dado A .
Ejemplo 1
Consideraremos dos ejemplos de conjuntos de poder. Para el primero, si comenzamos con el conjunto A = {1, 2, 3}, entonces cuál es el conjunto de potencia? Continuamos enumerando todos los subconjuntos de A .
- El conjunto vacío es un subconjunto de A . De hecho, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Este es el único subconjunto sin elementos de A .
- Los conjuntos {1}, {2}, {3} son los únicos subconjuntos de A con un elemento.
- Los conjuntos {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son los únicos subconjuntos de A con dos elementos.
- Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. Así A = {1, 2, 3} es un subconjunto de A . Este es el único subconjunto con tres elementos.
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Ejemplo 2
Para el segundo ejemplo, consideraremos el conjunto de potencia de B = {1, 2, 3, 4}. Gran parte de lo que dijimos anteriormente es similar, si no idéntico ahora:
- El conjunto vacío y B son ambos subconjuntos.
- Como hay cuatro elementos de B , hay cuatro subconjuntos con un elemento: {1}, {2}, {3}, {4}.
- Dado que cada subconjunto de tres elementos se puede formar eliminando un elemento de B y hay cuatro elementos, hay cuatro de estos subconjuntos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1 , 3, 4}, {2, 3, 4}.
- Queda por determinar los subconjuntos con dos elementos. Estamos formando un subconjunto de dos elementos elegidos de un conjunto de 4. Esta es una combinación y hay C (4, 2) = 6 de estas combinaciones. Los subconjuntos son: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
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Notación
Hay dos formas en que se denota el conjunto de potencia de un conjunto A . Una forma de denotar esto es usar el símbolo P ( A ), donde a veces esta letra P se escribe con un script estilizado. Otra notación para el conjunto de potencia de A es 2 A . Esta notación se usa para conectar el conjunto de potencia al número de elementos en el conjunto de potencia.
Tamaño del conjunto de potencia
Examinaremos esta notación más a fondo. Si A es un conjunto finito con elementos n , entonces su conjunto de potencia P (A ) tendrá 2 elementos n . Si estamos trabajando con un conjunto infinito, entonces no es útil pensar en 2 elementos n . Sin embargo, un teorema de Cantor nos dice que la cardinalidad de un conjunto y su conjunto de poder no pueden ser lo mismo.
Era una pregunta abierta en matemáticas si la cardinalidad del conjunto de poder de un conjunto infinitamente contable coincide con la cardinalidad de los reales. La resolución de esta pregunta es bastante técnica, pero dice que podemos elegir hacer esta identificación de cardenales o no. Ambos conducen a una teoría matemática consistente.
Conjuntos de potencia en probabilidad
El tema de la probabilidad se basa en la teoría de conjuntos. En lugar de referirnos a conjuntos y subconjuntos universales, en su lugar hablamos de espacios de muestra y eventos. A veces, cuando trabajamos con un espacio de muestra, deseamos determinar los eventos de ese espacio de muestra. El conjunto de potencia del espacio de muestra que tenemos nos dará todos los eventos posibles.
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