La diferencia de dos conjuntos, escritos A – B es el conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B . La operación de diferencia, junto con la unión y la intersección, es una operación de teoría de conjuntos importante y fundamental.
Descripción de la diferencia
La sustracción de un número de otro se puede pensar de muchas maneras diferentes. Un modelo para ayudar a comprender este concepto se llama modelo de resta para llevar. En esto, el problema 5 – 2 = 3 se demostraría comenzando con cinco objetos, eliminando dos de ellos y contando que quedaban tres. De manera similar a la diferencia entre dos números, podemos encontrar la diferencia de dos conjuntos.
Un ejemplo
Veremos un ejemplo de la diferencia establecida.& amp; amp; nbsp; Para ver cómo la diferencia de dos conjuntos forma un nuevo conjunto, let & amp; apos; s considera los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 6. Para encontrar la diferencia UNA – SI de estos dos conjuntos, comenzamos escribiendo todos los elementos de UNA , y luego quitar cada elemento de UNA eso también es un elemento de SI . Como A comparte los elementos 3, 4 y 5 con B , esto nos da la diferencia establecida A – B (tixagb_1.
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El pedido es importante
Así como las diferencias 4 – 7 y 7 – 4 nos dan diferentes respuestas, debemos tener cuidado con el orden en que calculamos la diferencia establecida. Para usar un término técnico de las matemáticas, diríamos que la operación establecida de la diferencia no es conmutativa. Lo que esto significa es que, en general, no podemos cambiar el orden de la diferencia de dos conjuntos y esperar el mismo resultado. Podemos afirmar con mayor precisión que para todos los conjuntos A y B , A – B no es igual a (tixb 1 .
Para ver esto, consulte el ejemplo anterior. Calculamos que para los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, la diferencia A 1. Para comparar esto con SI – UNA, comenzamos con los elementos de SI , que son 3, 4), 5), 6), 7), 8), y luego eliminar el 3, el 4 y el 5 porque estos son en común con UNA . El resultado es B – A = {6, 7, 8}.& amp; amp; nbsp; Este ejemplo nos muestra claramente que A – B no es igual a B – A .
El complemento
Un tipo de diferencia es lo suficientemente importante como para garantizar su propio nombre y símbolo especial. Esto se llama complemento, y se usa para la diferencia establecida cuando el primer conjunto es el conjunto universal. El complemento de A viene dado por la expresión U – A . Esto se refiere al conjunto de todos los elementos en el conjunto universal que no son elementos de A . Como se entiende que el conjunto de elementos entre los que podemos elegir se toma del conjunto universal, simplemente podemos decir que el complemento de UNA es el conjunto compuesto de elementos que & amp;# x200B;no son elementos de UNA .
El complemento de un conjunto es relativo al conjunto universal con el que estamos trabajando. Con A = {1, 2, 3} y U = {1, 2, 3, 4, 5}, el complemento de A es {4. Si nuestro conjunto universal es diferente, digamos U = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, entonces el complemento de A {-3, -2, -1, 0}. Siempre asegúrese de prestar atención a lo que se está utilizando el conjunto universal.
Notación para el Complemento
La palabra & amp; quot; complement & amp; quot; comienza con la letra C, y así se usa en la notación. El complemento del conjunto A se escribe como A C. Para que podamos expresar la definición del complemento en símbolos como: A C = U (tix1) .
Otra forma que se usa comúnmente como amp; amp; nbsp; para denotar el complemento de un conjunto implica un apóstrofe, y se escribe como A & amp; apos ;.
Otras identidades que involucran la diferencia y los complementos
Hay muchas identidades establecidas que implican el uso de la diferencia y las operaciones del complemento. Algunas identidades combinan otras operaciones establecidas como la intersección y el sindicato. Algunos de los más importantes se indican a continuación. Para todos los conjuntos A y B y D tenemos:
- A – A = & amp; # x2205;
- A – & amp; # x2205; = A
- &erio; # x2205; – A = & amp; # x2205;
- A – U = & amp; # x2205;
- ( A C) C = A
- DeMorgan & amp; # x2019; s Ley I: ( A & amp; # x2229; B ) C = A C & amp;
- DeMorgan & amp; # x2019; s Ley II: ( A & amp; # x222A; B ) C = A C & amp;
& amp; # x203A; Matemáticas}}
