La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad & amp; amp; nbsp; que se usa con variables aleatorias discretas. Este tipo de distribución se refiere al número de ensayos que deben ocurrir para tener un número predeterminado de éxitos.& amp; amp; nbsp; Como veremos, la distribución binomial negativa está relacionada con la distribución binomial.& amp; amp; nbsp; Además, esta distribución generaliza la distribución geométrica.
La configuración
Comenzaremos observando tanto la configuración como las condiciones que dan lugar a una distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp; Muchas de estas condiciones son muy similares a una configuración binomial.
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- Tenemos un experimento de Bernoulli.& amp; amp; nbsp; Esto significa que cada prueba que realizamos tiene un éxito y un fracaso bien definidos y que estos son los únicos resultados.
- La probabilidad de éxito es constante, no importa cuántas veces realicemos el experimento.& amp; amp; nbsp; Denotamos esta probabilidad constante con un p.
- El experimento se repite para ensayos independientes X , lo que significa que el resultado de un ensayo no tiene ningún efecto sobre el resultado de un ensayo posterior.& amp; amp; nbsp;
Estas tres condiciones son idénticas a las de una distribución binomial.& amp; amp; nbsp; La diferencia es que una variable aleatoria binomial tiene un número fijo de ensayos n. & amp; amp; nbsp; Los únicos valores de X son 0, 1, 2, …, n, , por lo que esta es una distribución finita.
Una distribución binomial negativa se refiere al número de ensayos X que deben ocurrir hasta que tengamos r éxitos.& amp; amp; nbsp; El número r es un número entero que elegimos antes de comenzar a realizar nuestras pruebas.& amp; amp; nbsp; La variable aleatoria X sigue siendo discreta.& amp; amp; nbsp; Sin embargo, ahora la variable aleatoria puede asumir valores de X = r, r + 1, r + 2, … Esta variable aleatoria es infinitamente contable, ya que podría pasar un tiempo arbitrariamente largo antes de que obtengamos r éxitos.
Ejemplo
Para ayudar a dar sentido a una distribución binomial negativa, vale la pena considerar un ejemplo.& amp; amp; nbsp; Supongamos que lanzamos una moneda justa y hacemos la pregunta, & amp; quot; ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos tres cabezas en la primera X lanzamientos de monedas??& amp; quot; & amp; amp; nbsp; Esta es una situación que requiere una distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp;
Las monedas tienen dos resultados posibles, la probabilidad de éxito es una constante 1/2 y las pruebas son independientes entre sí.& amp; amp; nbsp; Pedimos la probabilidad de obtener las tres primeras cabezas después de X lanzamientos de monedas.& amp; amp; nbsp; Por lo tanto, tenemos que lanzar la moneda al menos tres veces.& amp; amp; nbsp; Luego seguimos volteando hasta que aparece la tercera cabeza.
Para calcular las probabilidades relacionadas con una distribución binomial negativa, necesitamos más información.& amp; amp; nbsp; Necesitamos saber la función de masa de probabilidad.
Función de masa de probabilidad
La función de masa de probabilidad para una distribución binomial negativa se puede desarrollar con un poco de pensamiento.& amp; amp; nbsp; Cada prueba tiene una probabilidad de éxito dada por p.& amp; amp; nbsp; Dado que solo hay dos resultados posibles, esto significa que la probabilidad de falla es constante (1 – p ).
El éxito r debe ocurrir para la prueba final x th.& amp; amp; nbsp; Los ensayos anteriores x – 1 deben contener exactamente r – 1 éxitos.& amp; amp; nbsp; El número de formas en que esto puede ocurrir viene dado por el número de combinaciones:
C ( x – 1, r -1) = (x – 1)!/ [(r – 1)!( x – r )!].& amp; amp; nbsp;
Además de esto, tenemos eventos independientes, por lo que podemos multiplicar nuestras probabilidades juntos.& amp; amp; nbsp; Al unir todo esto, obtenemos la función de masa de probabilidad
f ( x ) = C ( x – 1, r -1) (tix_.
El nombre de la distribución
Ahora estamos en condiciones de entender por qué esta variable aleatoria tiene una distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp; El número de combinaciones que encontramos arriba se puede escribir de manera diferente configurando x – r = k:
(x – 1)!/ [(r – 1)!( x – r )!] = ( x + k – 1)!/ [(r – 1)! k !] = ( r + k – 1) ( x + k – 2) . . . (r + 1) (r) / k ! = (-1) k (-r) (-r – 1). . .(-r – (k + 1) / k!.
Aquí vemos la aparición de un coeficiente binomial negativo, que se usa cuando elevamos una expresión binomial (a + b) a una potencia negativa.
Media
Es importante saber la media de una distribución porque es una forma de denotar el centro de la distribución.& amp; amp; nbsp; La media de este tipo de variable aleatoria viene dada por su valor esperado y es igual a r / p .& amp; amp; nbsp; Podemos probar esto cuidadosamente utilizando la función generadora de momento para esta distribución.
La intuición también nos guía a esta expresión.& amp; amp; nbsp; Supongamos que realizamos una serie de pruebas n 1 hasta que obtengamos r éxitos.& amp; amp; nbsp; Y luego hacemos esto nuevamente, solo que esta vez se necesitan n 2 ensayos.& amp; amp; nbsp; Continuamos esto una y otra vez, hasta que tengamos una gran cantidad de grupos de pruebas N = n 1 + n 2 & amp; n . . . + & amp; amp; nbsp; n k.
Cada una de estas pruebas k contiene r , por lo que tenemos un total de éxitos kr .& amp; amp; nbsp; Si N & amp; amp; nbsp; es grande, entonces esperaríamos ver sobre Np éxitos.& amp; amp; nbsp; Así los equiparamos juntos y tenemos kr = Np.
Hacemos un poco de álgebra y encontramos que N / k = r / p.& amp; amp; nbsp; La fracción en el lado izquierdo de esta ecuación es el número promedio de ensayos requeridos para cada uno de nuestros grupos de ensayos k .& amp; amp; nbsp; En otras palabras, este es el número esperado de veces para realizar el experimento para que tengamos un total de éxitos r .& amp; amp; nbsp; Esta es exactamente la expectativa que deseamos encontrar.& amp; amp; nbsp; Vemos que esto es igual a la fórmula r / p.
Variación
La varianza de la distribución binomial negativa también se puede calcular utilizando la función generadora de momento. Cuando hacemos esto, vemos que la variación de esta distribución viene dada por la siguiente fórmula:
r (1 – p ) / p 2
Función generadora de momento
La función generadora de momento para este tipo de variable aleatoria es bastante complicada.& amp; amp; nbsp; Recuerde que la función generadora de momento se define como el valor esperado E [etX].& amp; amp; nbsp; Al usar esta definición con nuestra función de masa de probabilidad, tenemos:
M (t) = E [etX] = & amp; # x3A3; (x – 1)!/ [(r – 1)!( x – r )!] etX p r (1 – p ) x – r
Después de un poco de álgebra, esto se convierte en M (t) = (mascota) r [1- (1- p) et] -r
Relación con otras distribuciones
Hemos visto anteriormente cómo la distribución binomial negativa es similar en muchos aspectos a la distribución binomial.& amp; amp; nbsp; Además de esta conexión, la distribución binomial negativa es una versión más general de una distribución geométrica. & amp; amp; nbsp;
Una variable aleatoria geométrica X cuenta el número de ensayos necesarios antes de que ocurra el primer éxito.& amp; amp; nbsp; Es fácil ver que esta es exactamente la distribución binomial negativa, pero con r igual a uno.
Existen otras formulaciones de la distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp; Algunos libros de texto definen X como el número de ensayos hasta que ocurran r fallas.
Ejemplo de problema
Analizaremos un problema de ejemplo para ver cómo trabajar con la distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp; Supongamos que un jugador de baloncesto es un tirador de tiros libres del 80%.& amp; amp; nbsp; Además, suponga que hacer un tiro libre es independiente de hacer el siguiente.& amp; amp; nbsp; ¿Cuál es la probabilidad de que para este jugador la octava canasta se haga en el décimo tiro libre??
Vemos que tenemos una configuración para una distribución binomial negativa.& amp; amp; nbsp; La probabilidad constante de éxito es 0.8, por lo que la probabilidad de fracaso es 0.2.& amp; amp; nbsp; Queremos determinar la probabilidad de X = 10 cuando r = 8.
Conectamos estos valores a nuestra función de masa de probabilidad:
f (10) = C (10 -1, 8 – 1) (0.8) 8 (0.2) 2 = 36 (0.8) 8 (0.2) 2, que es aproximadamente 24%.
Entonces podríamos preguntar cuál es el número promedio de tiros libres antes de que este jugador haga ocho de ellos.& amp; amp; nbsp; Dado que el valor esperado es 8 / 0.8 = 10, este es el número de disparos.
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