Si le pidieras a alguien que nombrara su constante matemática favorita, probablemente obtendrías algunas miradas burlonas. Después de un tiempo, alguien puede ofrecerse como voluntario para que la mejor constante sea pi.& amp; amp; nbsp; pero esta no es la única constante matemática importante. Un segundo cercano, si no un contendiente para la corona de la constante más ubicua es e . Este número aparece en cálculo, teoría de números, probabilidad y estadísticas.& amp; amp; nbsp; Examinaremos algunas de las características de este número notable y veremos qué conexiones tiene con las estadísticas y la probabilidad.
Valor de e
Al igual que pi, e es un número real irracional. Esto significa que no se puede escribir como una fracción, y que su expansión decimal continúa para siempre sin un bloque repetitivo de números que se repite continuamente. El número e también es trascendental, lo que significa que no es la raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes racionales. Los primeros cincuenta decimales de están dados por e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
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Definición de e
El número e fue descubierto por personas que sentían curiosidad por el interés compuesto. En esta forma de interés, el principal gana intereses y luego el interés generado genera intereses sobre sí mismo. Se observó que cuanto mayor es la frecuencia de los períodos de capitalización por año, mayor es la cantidad de interés generado. Por ejemplo, podríamos ver cómo se agrava el interés:
- Anualmente, o una vez al año
- Semestralmente, o dos veces al año
- Mensual, o 12 veces al año
- Diariamente, o 365 veces al año
El monto total de intereses aumenta para cada uno de estos casos.
Surgió una pregunta sobre cuánto dinero podría ganarse en intereses. Para intentar ganar aún más dinero podríamos, en teoría, aumentar el número de períodos de capitalización a un número tan alto como quisiéramos. El resultado final de este aumento es que consideraríamos que el interés se agrava continuamente.
Si bien el interés generado aumenta, lo hace muy lentamente. La cantidad total de dinero en la cuenta realmente se estabiliza, y el valor al que se estabiliza es e . Para expresar esto usando una fórmula matemática, decimos que el límite como n aumenta de (1 + 1 / n ) n = e1 .
Usos de e
El número e aparece a lo largo de las matemáticas. Aquí hay algunos de los lugares donde aparece:
- Es la base del logaritmo natural. Desde que Napier inventó los logaritmos, e a veces se denomina constante Napier & amp; apos; s.
- En cálculo, la función exponencial ex tiene la propiedad única de ser su propio derivado.
- Las expresiones que involucran ex y e-x se combinan para formar las funciones de coseno hiperbólico sinusoidal e hiperbólico.
- Gracias al trabajo de Euler, sabemos que las constantes fundamentales de las matemáticas están interrelacionadas por la fórmula ei & amp; # x3A0; +1 = 0, donde i es el número imaginario que es la raíz cuadrada de la negativa.
- El número e aparece en varias fórmulas a lo largo de las matemáticas, especialmente el área de la teoría de números.
El valor e en estadísticas
La importancia del número e no se limita a unas pocas áreas de las matemáticas. También hay varios usos del número e en estadísticas y probabilidad.& amp; amp; nbsp; Algunos de estos son los siguientes:
- El número e aparece en la fórmula para la función gamma.
- Las fórmulas para la distribución normal estándar implican e a una potencia negativa. Esta fórmula también incluye pi.
- Muchas otras distribuciones implican el uso del número e . Por ejemplo, las fórmulas para la distribución t, la distribución gamma y la distribución chi-cuadrado contienen el número e .
& amp; # x203A; Matemáticas
