No todos los conjuntos infinitos son iguales. Una forma de distinguir entre estos conjuntos es preguntando si el conjunto es infinitamente contable o no. De esta manera, decimos que los conjuntos infinitos son contables o incontables. Consideraremos varios ejemplos de conjuntos infinitos y determinaremos cuáles de estos son incontables.&erio; # x200B;
Innfinito
Comenzamos descartando varios ejemplos de conjuntos infinitos. Muchos de los conjuntos infinitos que pensaríamos de inmediato son infinitamente infinitos. Esto significa que se pueden poner en una correspondencia uno a uno con los números naturales.
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Los números naturales, los enteros y los números racionales son infinitamente contables. Cualquier unión o intersección de conjuntos infinitamente contables también es contable. El producto cartesiano de cualquier número de conjuntos contables es contable. Cualquier subconjunto de un conjunto contable también es contable.
Incontable
La forma más común de introducir conjuntos incontables es considerando el intervalo (0, 1) de números reales. De este hecho, y la función uno a uno f ( x ) = bx + a . Es un corolario directo mostrar que cualquier intervalo ( a , b ) de números reales es incontable infinito.
El conjunto completo de números reales también es incontable. Una forma de mostrar esto es usar la función tangente uno a uno f ( x ) = tan x . El dominio de esta función es el intervalo (- & amp; # x3C0; / 2, & amp; # x3C0; / 2), un conjunto incontable, y el rango es el conjunto de todos los números reales.
Otros conjuntos no contables
Las operaciones de la teoría básica de conjuntos se pueden utilizar para producir más ejemplos de conjuntos infinitamente incontables:
- Si A es un subconjunto de B y A es incontable, entonces también lo es B . Esto proporciona una prueba más directa de que todo el conjunto de números reales es incontable.
- Si A es incontable y B es cualquier conjunto, entonces la unión A U B también es incontable.
- Si A es incontable y B es cualquier conjunto, entonces el producto cartesiano A x B también es incontable.
- Si A es infinito (incluso infinitamente contable), entonces el conjunto de potencia de A es incontable.
Otros dos ejemplos, que están relacionados entre sí, son algo sorprendentes. No todos los subconjuntos de los números reales son incontable infinitos (de hecho, los números racionales forman un subconjunto contable de los reales que también es denso). Ciertos subconjuntos son incontablemente infinitos.
Uno de estos subconjuntos infinitamente incontables involucra ciertos tipos de expansiones decimales. Si elegimos dos números y formamos todas las expansiones decimales posibles con solo estos dos dígitos, entonces el conjunto infinito resultante es incontable.
Otro conjunto es más complicado de construir y también es incontable. Comience con el intervalo cerrado [0,1]. Elimine el tercio medio de este conjunto, dando como resultado [0, 1/3] U [2/3, 1]. Ahora retire el tercio medio de cada una de las piezas restantes del conjunto. Entonces (1/9, 2/9) y (7/9, 8/9) se eliminan. Continuamos de esta manera. El conjunto de puntos que quedan después de eliminar todos estos intervalos no es un intervalo, sin embargo, es incontable infinito. Este conjunto se llama Cantor Set.
Hay infinitos conjuntos incontables, pero los ejemplos anteriores son algunos de los conjuntos más comunes.
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