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Ejemplos de intervalos de confianza para medios

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Teacher at chalkboard

Una de las principales partes de las estadísticas inferenciales es el desarrollo de formas de calcular los intervalos de confianza. Los intervalos de confianza nos proporcionan una forma de estimar un parámetro de población. En lugar de decir que el parámetro es igual a un valor exacto, decimos que el parámetro cae dentro de un rango de valores.& amp; amp; nbsp; Este rango de valores es típicamente una estimación, junto con un margen de error que sumamos y restamos de la estimación.

Adjunto a cada intervalo hay un nivel de confianza. El nivel de confianza proporciona una medición de con qué frecuencia, a largo plazo, el método utilizado para obtener nuestro intervalo de confianza captura el verdadero parámetro de población.

Video destacado

Es útil cuando se aprende sobre estadísticas para ver algunos ejemplos resueltos. A continuación veremos varios ejemplos de intervalos de confianza sobre una media poblacional. Veremos que el método que utilizamos para construir un intervalo de confianza sobre una media depende de más información sobre nuestra población. Específicamente, el enfoque que adoptamos depende de si conocemos o no la desviación estándar de la población o no.

Declaración de problemas

Comenzamos con una muestra aleatoria simple de 25 especies particulares de tritones y medimos sus colas. La longitud media de la cola de nuestra muestra es de 5 cm.

  1. Si sabemos que 0.2 cm es la desviación estándar de las longitudes de cola de todos los tritones en la población, entonces, ¿cuál es un intervalo de confianza del 90% para la longitud media de la cola de todos los tritones en la población??
  2. Si sabemos que 0.2 cm es la desviación estándar de las longitudes de cola de todos los tritones en la población, entonces, ¿cuál es un intervalo de confianza del 95% para la longitud media de la cola de todos los tritones en la población??
  3. Si descubrimos que ese 0.2 cm es la desviación estándar de las longitudes de cola de los tritones en nuestra muestra de la población, entonces, ¿cuál es un intervalo de confianza del 90% para la longitud media de la cola de todos los tritones en la población??
  4. Si descubrimos que 0.2 cm es la desviación estándar de las longitudes de cola de los tritones en nuestra muestra de la población, entonces, ¿cuál es un intervalo de confianza del 95% para la longitud media de la cola de todos los tritones en la población??

Discusión de los problemas

Comenzamos analizando cada uno de estos problemas. En los dos primeros problemas sabemos el valor de la desviación estándar de la población. La diferencia entre estos dos problemas es que el nivel de confianza es mayor en el n. ° 2 que en el n. ° 1.

En los dos segundos problemas se desconoce la desviación estándar de la población. Para estos dos problemas, estimaremos este parámetro con la desviación estándar de la muestra. Como vimos en los dos primeros problemas, aquí también tenemos diferentes niveles de confianza.

Soluciones

Calcularemos soluciones para cada uno de los problemas anteriores.

  1. Como conocemos la desviación estándar de la población, utilizaremos una tabla de núcleos z. El valor de z que corresponde a un intervalo de confianza del 90% es 1.645. Al usar la fórmula para el margen de error, tenemos un intervalo de confianza de 5 & amp; # x2013; 1.645 (0.2 / 5) a 5 + 1.645 (0.2 / 5). (El 5 en el denominador aquí es porque hemos tomado la raíz cuadrada de 25). Después de llevar a cabo la aritmética, tenemos 4.934 cm a 5.066 cm como intervalo de confianza para la media de la población.
  2. Como conocemos la desviación estándar de la población, utilizaremos una tabla de núcleos z. El valor de z que corresponde a un intervalo de confianza del 95% es 1.96. Al usar la fórmula para el margen de error, tenemos un intervalo de confianza de 5 & amp; # x2013; 1.96 (0.2 / 5) a 5 + 1.96 (0.2 / 5). Después de llevar a cabo la aritmética, tenemos 4.922 cm a 5.078 cm como intervalo de confianza para la media de la población.
  3. Aquí no conocemos la desviación estándar de la población, solo la desviación estándar de la muestra. Por lo tanto, usaremos una tabla de t-scores. Cuando usamos una tabla de puntajes t necesitamos saber cuántos grados de libertad tenemos. En este caso, hay 24 grados de libertad, que es uno menos que el tamaño de muestra de 25. El valor de t que corresponde a un intervalo de confianza del 90% es 1.71. Al usar la fórmula para el margen de error, tenemos un intervalo de confianza de 5 & amp; # x2013; 1.71 (0.2 / 5) a 5 + 1.71 (0.2 / 5). Después de llevar a cabo la aritmética, tenemos 4.932 cm a 5.068 cm como intervalo de confianza para la media de la población.
  4. Aquí no conocemos la desviación estándar de la población, solo la desviación estándar de la muestra. Por lo tanto, nuevamente usaremos una tabla de t-scores. Hay 24 grados de libertad, que es uno menos que el tamaño de muestra de 25. El valor de t que corresponde a un intervalo de confianza del 95% es 2.06. Al usar la fórmula para el margen de error, tenemos un intervalo de confianza de 5 & amp; # x2013; 2.06 (0.2 / 5) a 5 + 2.06 (0.2 / 5). Después de llevar a cabo la aritmética, tenemos 4.912 cm a 5.082 cm como intervalo de confianza para la media de la población.

Discusión de las soluciones

Hay algunas cosas a tener en cuenta al comparar estas soluciones. El primero es que en cada caso a medida que aumentó nuestro nivel de confianza, mayor es el valor de z o t con el que terminamos. La razón de esto es que para estar más seguros de que realmente capturamos la media de la población en nuestro intervalo de confianza, necesitamos un intervalo más amplio.

La otra característica a tener en cuenta es que para un intervalo de confianza particular, los que usan t son más anchos que aquellos con z . La razón de esto es que una distribución t tiene una mayor variabilidad en sus colas que una distribución normal estándar.

La clave para corregir las soluciones de este tipo de problemas es que si conocemos la desviación estándar de la población, utilizamos una tabla de z -scores. Si no conocemos la desviación estándar de la población, entonces usamos una tabla de puntajes t .

& amp; # x203A; Matemáticas

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