La desigualdad de Chebyshev & amp; # x2019; s dice que al menos 1 -1 / K 2 de los datos de una muestra deben estar dentro K desviaciones estándar de la media, donde & amp; # x20. Esto significa que no necesitamos saber la forma de la distribución de nuestros datos. Con solo la media y la desviación estándar, podemos determinar la cantidad de datos un cierto número de desviaciones estándar de la media.
Los siguientes son algunos problemas para practicar usando la desigualdad.
Ejemplo # 1
Una clase de alumnos de segundo grado tiene una altura media de cinco pies con una desviación estándar de una pulgada. Al menos, ¿qué porcentaje de la clase debe estar entre 4 & amp; # x2019; 10 & amp; # x201D; y 5 & amp; # x2019; 2 & amp; # x201D ;?& amp; # x200B; & amp; # x200B;
Solución
Las alturas que se dan en el rango anterior están dentro de dos desviaciones estándar desde la altura media de cinco pies. La desigualdad de Chebyshev & amp; # x2019; s dice que al menos 1 & amp; # x2013; 1/22 = 3/4 = 75% de la clase está en el rango de altura dado.
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Ejemplo # 2
Se encuentra que las computadoras de una compañía en particular duran en promedio tres años sin ningún mal funcionamiento del hardware, con una desviación estándar de dos meses. Al menos, ¿qué porcentaje de las computadoras duran entre 31 meses y 41 meses??
Solución
La vida media de tres años corresponde a 36 meses. Los tiempos de 31 meses a 41 meses son cada 5/2 = 2.5 desviaciones estándar de la media. Por Chebyshev & amp; # x2019; s desigualdad, al menos 1 & amp; # x2013; 1 / (2.5) 62 = 84% de las computadoras duran de 31 meses a 41 meses.
Ejemplo # 3
Las bacterias en un cultivo viven durante un tiempo promedio de tres horas con una desviación estándar de 10 minutos. Al menos qué fracción de la bacteria vive entre dos y cuatro horas?
Solución
Dos y cuatro horas están cada una a una hora de la media. Una hora corresponde a seis desviaciones estándar. Entonces al menos 1 & amp; # x2013; 1/62 = 35/36 = 97% de las bacterias viven entre dos y cuatro horas.
Ejemplo # 4
¿Cuál es el número más pequeño de desviaciones estándar de la media a la que debemos ir si queremos asegurarnos de tener al menos el 50% de los datos de una distribución??
Solución
Aquí usamos Chebyshev & amp; # x2019; s desigualdad y trabajo hacia atrás. Queremos 50% = 0.50 = 1/2 = 1 & amp; # x2013; 1 / K 2. El objetivo es usar álgebra para resolver K .
Vemos que 1/2 = 1 / K 2. Multiplique en cruz y vea que 2 = K 2. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, y dado que K es una serie de desviaciones estándar, ignoramos la solución negativa a la ecuación. Esto muestra que K es igual a la raíz cuadrada de dos. Entonces, al menos el 50% de los datos se encuentra dentro de aproximadamente 1.4 desviaciones estándar de la media.
Ejemplo # 5
La ruta de autobús # 25 dura un tiempo medio de 50 minutos con una desviación estándar de 2 minutos. Un póster promocional para este sistema de autobuses establece que & amp; # x201C; 95% de la ruta del autobús de tiempo # 25 dura de ____ a ____ minutos.&erio; # x201D; ¿Con qué números completarías los espacios en blanco??
Solución
Esta pregunta es similar a la última en que debemos resolver K , el número de desviaciones estándar de la media. Comience configurando 95% = 0.95 = 1 & amp; # x2013; 1 / K 2. Esto muestra que 1 – 0.95 = 1 / K 2. Simplifique para ver que 1 / 0.05 = 20 = K 2. Entonces K = 4.47.
Ahora exprese esto en los términos anteriores. Al menos el 95% de todos los viajes son 4.47 desviaciones estándar del tiempo medio de 50 minutos. Multiplique 4.47 por la desviación estándar de 2 para terminar con nueve minutos. Entonces, el 95% del tiempo, la ruta de autobús # 25 dura entre 41 y 59 minutos.
& amp; # x203A; Matemáticas
