Esta es una introducción básica, aunque con suerte bastante completa, para trabajar con vectores. Los vectores se manifiestan en una amplia variedad de formas desde desplazamiento, velocidad y aceleración hasta fuerzas y campos. Este artículo está dedicado a las matemáticas de los vectores; su aplicación en situaciones específicas se abordará en otros lugares.
Vectores y escalares
Una cantidad de vector , o vector , proporciona información no solo sobre la magnitud sino también sobre la dirección de la cantidad. Al dar instrucciones a una casa, es suficiente para decir que está a 10 millas de distancia, pero también se debe proporcionar la dirección de esas 10 millas para que la información sea útil. Las variables que son vectores se indicarán con una variable de negrita, aunque es común ver vectores denotados con pequeñas flechas sobre la variable.
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Así como no lo hacemos y lo decimos, la otra casa está a -10 millas de distancia, la magnitud de un vector siempre es un número positivo, o más bien el valor absoluto de & amp; quot; length & amp; quot; del vector (aunque la cantidad puede no ser una longitud, puede ser una velocidad, aceleración, fuerza, etc.) Un negativo en el frente un vector no indica un cambio en la magnitud, sino más bien en la dirección del vector.
En los ejemplos anteriores, la distancia es la cantidad escalar (10 millas) pero el desplazamiento es la cantidad vectorial (10 millas al noreste). Del mismo modo, la velocidad es una cantidad escalar, mientras que la velocidad es una cantidad vectorial.
Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de uno. Un vector que representa un vector unitario generalmente también es negrita, aunque tendrá un quilate ( ^ ) encima para indicar la naturaleza unitaria de la variable. El vector unitario x , cuando se escribe con un quilate, generalmente se lee como & amp; quot; x-hat & amp; quot; porque el quat se parece a un sombrero en la variable.
El vector cero , o vector nulo , es un vector con una magnitud de cero. Está escrito como 0 en este artículo.
Componentes vectoriales
Los vectores generalmente están orientados en un sistema de coordenadas, el más popular de los cuales es el plano cartesiano bidimensional. El plano cartesiano tiene un eje horizontal que está etiquetado xy un eje vertical etiquetado y. Algunas aplicaciones avanzadas de vectores en física requieren el uso de un espacio tridimensional, en el que los ejes son x, y y z. Este artículo tratará principalmente con el sistema bidimensional, aunque los conceptos se pueden ampliar con cuidado a tres dimensiones sin demasiados problemas.
Los vectores en sistemas de coordenadas de dimensiones múltiples se pueden dividir en sus vectores componentes . En el caso bidimensional, esto da como resultado un componente x y un componente y . Al romper un vector en sus componentes, el vector es una suma de los componentes:
F = Fx + Fy
theta FxFyF
Fx / F = cos theta y Fy /
Fx & lt; / br & gt; = F cos theta y Fy = (tixb_
Tenga en cuenta que los números aquí son las magnitudes de los vectores. Conocemos la dirección de los componentes, pero nosotros & amp; apos; estamos tratando de encontrar su magnitud, por lo que eliminamos la información direccional y realizamos estos cálculos escalares para determinar la magnitud. La aplicación adicional de trigonometría se puede usar para encontrar otras relaciones (como la tangente) relacionadas entre algunas de estas cantidades, pero creo que eso es suficiente por ahora.
Durante muchos años, la única matemática que aprende un estudiante es la matemática escalar.Si viaja 5 millas al norte y 5 millas al este, usted y amp; apos; han viajado 10 millas. Agregar cantidades escalares ignora toda la información sobre las direcciones.
Los vectores son manipulados de manera algo diferente. La dirección siempre debe tenerse en cuenta al manipularlos.
Agregar componentes
Cuando agrega dos vectores, es como si tomara los vectores y los colocara de extremo a extremo y creara un nuevo vector que se extiende desde el punto de partida hasta el punto final. Si los vectores tienen la misma dirección, esto solo significa agregar las magnitudes, pero si tienen diferentes direcciones, puede volverse más complejo.
Agrega vectores al dividirlos en sus componentes y luego agregar los componentes, como a continuación:
a + b = c & lt; br & gt ;
ax & lt; / br & gt; + ay + bx + por =
& lt; br & gt ;
( ax + bx ) + (( ay + por ) = 1)
& lt; / br & gt ;
Los dos componentes x darán como resultado el componente x de la nueva variable, mientras que los dos componentes y dan como resultado el componente y de la nueva variable.
Propiedades de la adición del vector
El orden en que agrega los vectores no importa. De hecho, varias propiedades de la adición escalar se mantienen para la adición del vector:
Propiedad de identidad de Vector Addition & lt; br & gt ;
a & lt; / br & gt; + 0 = a & lt; br & gt ;
Propiedad inversa de adición de vectores & lt; br & gt ;
a & lt; / br & gt; & lt; / br & gt; + – a = a – a &6)
Propiedad reflectante de adición de vectores & lt; br & gt ;
a & lt; / br & gt; & lt; / br & gt; = a & lt; br & gt ;
Propiedad conmutativa & lt; / br & gt; de adición vectorial & lt; br & gt ;
a & lt; / br & gt; + b = b + a & lt; br & gt ;
Propiedad asociativa de adición de vectores & lt; / br & gt;
& lt; br & gt ;
( a + b ) + c = a + (
Propiedad transitiva de la adición de vectores & lt; / br & gt;
& lt; br & gt ;
Si a = b y c = b , entonces a
& lt; / br & gt ;
& lt; / br & gt ;
La operación más simple que se puede realizar en un vector es multiplicarlo por un escalar. Esta multiplicación escalar altera la magnitud del vector. En otras palabras, hace que el vector sea más largo o más corto.
Al multiplicar tiempos un escalar negativo, el vector resultante apuntará en la dirección opuesta.
El producto escalar de dos vectores es una forma de multiplicarlos para obtener una cantidad escalar. Esto se escribe como una multiplicación de los dos vectores, con un punto en el medio que representa la multiplicación. Como tal, a menudo se le llama el producto de punto de dos vectores.
Para calcular el producto puntual de dos vectores, considera el ángulo entre ellos. En otras palabras, si compartieran el mismo punto de partida, cuál sería la medición de ángulo ( theta ) entre ellos. El producto de punto se define como:
a * b = ab cos theta
ab abba
En los casos en que los vectores son perpendiculares (o theta = 90 grados), cos theta será cero. Por lo tanto, el producto de punto de los vectores perpendiculares es siempre cero . Cuando los vectores son paralelos (o theta = 0 grados), cos theta es 1, por lo que el producto escalar es solo el producto de las magnitudes.
Estos pequeños hechos se pueden usar para demostrar que, si conoce los componentes, puede eliminar la necesidad de theta por completo con la ecuación (dosidimensional):
a * b = ax bx + ay por
El producto vectorial está escrito en la forma a x b , y generalmente se denomina producto cruzado de dos vectores. En este caso, estamos multiplicando los vectores y, en lugar de obtener una cantidad escalar, obtendremos una cantidad vectorial. Este es el más complicado de los cálculos vectoriales con los que nos enfrentamos & amp; apos, ya que es no conmutativo e implica el uso de la temida derecha regla , que.
Cálculo de la magnitud
Nuevamente, consideramos dos vectores extraídos del mismo punto, con el ángulo theta entre ellos. Siempre tomamos el ángulo más pequeño, por lo que theta siempre estará en un rango de 0 a 180 y, por lo tanto, el resultado nunca será negativo. La magnitud del vector resultante se determina de la siguiente manera:
If c = a x b , luego c = ab
El producto vectorial de vectores paralelos (o antiparalelos) es siempre cero
Dirección del vector
El producto vectorial será perpendicular al plano creado a partir de esos dos vectores. Si imagina que el plano está plano sobre una mesa, la pregunta es si el vector resultante sube (nuestro & amp; quot; out & amp; quot; de la tabla, desde nuestra perspectiva) o hacia abajo (o & amp; quot; & amp; quot; la tabla, desde nuestra perspectiva).
La regla de la mano derecha empanada
Para resolver esto, debe aplicar lo que se llama la regla de la derecha . Cuando estudié física en la escuela, detestaba la regla de la derecha. Cada vez que lo usaba, tenía que sacar el libro para ver cómo funcionaba. Espero que mi descripción sea un poco más intuitiva que la que me presentaron.
Si tiene a x b colocará su mano derecha a lo largo de b para que sus dedos (excepto el pulgar) puedan curvarse para apuntar a 1 . En otras palabras, estás tratando de hacer el ángulo theta entre la palma y los cuatro dedos de tu mano derecha. El pulgar, en este caso, se mantendrá hacia arriba (o fuera de la pantalla, si intenta hacerlo hasta la computadora). Sus nudillos estarán alineados con el punto de partida de los dos vectores. La precisión no es esencial, pero quiero que se te ocurra la idea ya que no tengo una imagen de esto para proporcionar.
Sin embargo, si está considerando b x a , hará lo contrario. Pondrá su mano derecha a y apuntará con los dedos b . Si intenta hacer esto en la pantalla de la computadora, le resultará imposible, así que use su imaginación. Encontrará que, en este caso, su pulgar imaginativo apunta a la pantalla de la computadora. Esa es la dirección del vector resultante.
La regla de la derecha muestra la siguiente relación:
a x b = – b x a
cabc
cx = ay bz – az by & lt; br & gt ;
cy & lt; / br & gt; = az bx – ax bz & lt; br & gt ;
cz & lt; / br & gt; = ax por – ay bx
ab cxcy c
Palabras finales
En niveles superiores, los vectores pueden ser extremadamente complejos para trabajar. Cursos completos en la universidad, como álgebra lineal, dedican una gran cantidad de tiempo a las matrices (que evité amablemente en esta introducción), vectores y espacios vectoriales . Ese nivel de detalle está más allá del alcance de este artículo, pero esto debería proporcionar los fundamentos necesarios para la mayor parte de la manipulación de vectores que se realiza en el aula de física. Si tiene la intención de estudiar física con mayor profundidad, se le introducirán los conceptos vectoriales más complejos a medida que avance en su educación.
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