El juego de Yahtzee implica el uso de cinco dados estándar. En cada turno, los jugadores reciben tres rollos. Después de cada tirada, se puede mantener cualquier número de dados con el objetivo de obtener combinaciones particulares de estos dados. Cada tipo diferente de combinación vale una cantidad diferente de puntos.
Uno de estos tipos de combinaciones se llama casa llena. Como una casa llena en el juego de póker, esta combinación incluye tres de un cierto número junto con un par de un número diferente. Dado que Yahtzee implica el lanzamiento aleatorio de dados, este juego se puede analizar utilizando la probabilidad para determinar la probabilidad de que ruede una casa completa en un solo rollo.
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Suposiciones
Comenzaremos declarando nuestras suposiciones. Asumimos que los dados utilizados son justos e independientes entre sí. Esto significa que tenemos un espacio de muestra uniforme que consiste en todos los rollos posibles de los cinco dados. Aunque el juego de Yahtzee permite tres rollos, solo consideraremos el caso de que obtengamos una casa llena en un solo rollo.
Espacio de muestra
Como estamos trabajando con un espacio de muestra uniforme, el cálculo de nuestra probabilidad se convierte en un cálculo de un par de problemas de conteo. La probabilidad de una casa llena es la cantidad de formas de rodar una casa llena, dividida por la cantidad de resultados en el espacio de muestra.
El número de resultados en el espacio de la muestra es sencillo. Como hay cinco dados y cada uno de estos dados puede tener uno de los seis resultados diferentes, el número de resultados en el espacio de muestra es 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Número de casas completas
A continuación, calculamos la cantidad de formas de rodar una casa llena. Este es un problema más difícil. Para tener una casa llena, necesitamos tres de un tipo de dados, seguidos de un par de dados diferentes. Dividiremos este problema en dos partes:
- ¿Cuál es el número de diferentes tipos de casas completas que podrían ser enrolladas??
- ¿Cuál es la cantidad de formas en que se podría rodar un tipo particular de casa llena??
Una vez que sepamos el número de cada uno de estos, podemos multiplicarlos para darnos el número total de casas completas que se pueden rodar.
Comenzamos observando la cantidad de diferentes tipos de casas completas que se pueden rodar. Cualquiera de los números 1, 2, 3, 4, 5 o 6 podría usarse para los tres de un tipo. Hay cinco números restantes para el par. Por lo tanto, hay 6 x 5 = 30 tipos diferentes de combinaciones de casa completa que se pueden rodar.
Por ejemplo, podríamos tener 5, 5, 5, 2, 2 como un tipo de casa llena. Otro tipo de casa llena sería 4, 4, 4, 1, 1. Otro sería 1, 1, 4, 4, 4, que es diferente a la casa completa anterior porque se han cambiado los roles de los cuatro y los uno.
Ahora determinamos la cantidad diferente de formas de rodar una casa llena en particular. Por ejemplo, cada uno de los siguientes nos da la misma casa llena de tres cuatros y dos:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Vemos que hay al menos cinco formas de rodar una casa llena en particular. Hay otros? Incluso si seguimos enumerando otras posibilidades, ¿cómo sabemos que las hemos encontrado todas??
La clave para responder estas preguntas es darnos cuenta de que estamos lidiando con un problema de conteo y determinar con qué tipo de problema de conteo estamos trabajando. Hay cinco puestos, y tres de estos deben estar llenos de un cuatro. El orden en que colocamos nuestros cuatro no importa mientras se llenen los puestos exactos. Una vez que se ha determinado la posición de los cuatro, la colocación de los uno es automática. Por estas razones, debemos considerar la combinación de cinco posiciones tomadas tres a la vez.
Utilizamos la fórmula combinada para obtener C (5, 3) = 5!/ (3!2)!) = (5 x 4) / 2 = 10. Esto significa que hay 10 formas diferentes de rodar una casa llena determinada.
Al unir todo esto, tenemos nuestro número de casas completas. Hay 10 x 30 = 300 formas de obtener una casa llena en un solo rollo.
Probabilidad
Ahora la probabilidad de una casa llena es un cálculo de división simple. Dado que hay 300 formas de rodar una casa llena en un solo rollo y hay 7776 rollos de cinco dados posibles, la probabilidad de rodar una casa llena es 300/7776, que es cercana al 1/26 y 3.85%. Esto es 50 veces más probable que rodar un Yahtzee en un solo rollo.
Por supuesto, es muy probable que el primer lanzamiento no sea una casa llena. Si este es el caso, se nos permiten dos rollos más, lo que hace que una casa llena sea mucho más probable. La probabilidad de esto es mucho más complicada de determinar debido a todas las posibles situaciones que tendrían que considerarse.
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