Usted & amp; # x2019; re en las calles de St. Petersburgo, Rusia y un anciano propone el siguiente juego. Lanza una moneda (y tomará prestada una de las suyas si no lo hace; # x2019; t confía en que la suya es justa). Si cae en colas, entonces pierdes y el juego termina. Si la moneda cae cara a cara, entonces ganas un rublo y el juego continúa. La moneda se lanza de nuevo. Si son colas, entonces el juego termina. Si son cabezas, entonces ganas dos rublos adicionales. El juego continúa de esta manera. Para cada cabeza sucesiva, duplicamos nuestras ganancias de la ronda anterior, pero al signo de la primera cola, el juego está listo.
¿Cuánto pagarías por jugar este juego?? Cuando consideramos el valor esperado de este juego, debes aprovechar la oportunidad, sin importar el costo. Sin embargo, según la descripción anterior, probablemente estaría dispuesto a pagar mucho. Después de todo, hay un 50% de probabilidad de no ganar nada. Esto es lo que se conoce como St. Paradoja de Petersburgo, nombrada debido a la publicación en 1738 de Daniel Bernoulli Comentarios de la Academia Imperial de Ciencia de San Petersburgo .
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Algunas probabilidades
Let & amp; apos; s comienzan calculando las probabilidades asociadas con este juego. La probabilidad de que una moneda justa caiga cara a cara es 1/2. Cada lanzamiento de moneda es un evento independiente, por lo que multiplicamos las probabilidades posiblemente con el uso de un diagrama de árbol.
- La probabilidad de dos cabezas seguidas es (1/2)) x (1/2) = 1/4.
- La probabilidad de tres cabezas seguidas es (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
- Para expresar la probabilidad de n cabezales seguidos, donde n es un número entero positivo, utilizamos exponentes para escribir 1/2 n .
Algunos pagos
Ahora, vamos a seguir adelante y ver si podemos generalizar cuáles serían las ganancias en cada ronda.
- Si tienes cabeza en la primera ronda, ganas un rublo para esa ronda.
- Si hay una cabeza en la segunda ronda, ganas dos rublos en esa ronda.
- Si hay una cabeza en la tercera ronda, entonces ganas cuatro rublos en esa ronda.
- Si ha tenido la suerte de llegar a la ronda n , ganará 2 rublos n-1 en esa ronda.
Valor esperado del juego
El valor esperado de un juego nos dice cuál sería el promedio de las ganancias si jugaras el juego muchas, muchas veces. Para calcular el valor esperado, multiplicamos el valor de las ganancias de cada ronda con la probabilidad de llegar a esta ronda, y luego agregamos todos estos productos juntos.
- Desde la primera ronda, tiene una probabilidad de 1/2 y ganancias de 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
- Desde la segunda ronda, tiene una probabilidad de 1/4 y ganancias de 2 rublos: 1/4 x 2 = 1/2
- Desde la primera ronda, tiene una probabilidad de 1/8 y ganancias de 4 rublos: 1/8 x 4 = 1/2
- Desde la primera ronda, tiene una probabilidad de 1/16 y ganancias de 8 rublos: 1/16 x 8 = 1/2
- Desde la primera ronda, tiene una probabilidad de 1/2 n y ganancias de 2 n-1 rublos: 1/2 n x 2 (tixb_18) nix
El valor de cada ronda es 1/2, y agregar los resultados de las primeras rondas n juntas nos da un valor esperado de n / 2 rublos. Como n puede ser cualquier número entero positivo, el valor esperado es ilimitado.
La paradoja
Entonces, ¿qué debes pagar para jugar?? Un rublo, mil rublos o incluso mil millones de rublos serían, a la larga, menores que el valor esperado. A pesar del cálculo anterior que promete riquezas incalculables, todos seguiríamos siendo reacios a pagar mucho por jugar.
Existen numerosas formas de resolver la paradoja. Una de las formas más simples es que nadie ofrecería un juego como el descrito anteriormente. Nadie tiene los recursos infinitos que se necesitarían para pagarle a alguien que continuó volteando.
Otra forma de resolver la paradoja implica señalar cuán improbable es obtener algo así como 20 cabezas seguidas. Las probabilidades de que esto suceda son mejores que ganar la mayoría de las loterías estatales. Las personas juegan rutinariamente tales loterías por cinco dólares o menos. Entonces el precio para jugar el St. El juego de Petersburgo probablemente no debería exceder unos pocos dólares.
Si el hombre en St. Petersburgo dice que costará más que unos pocos rublos jugar su juego, cortésmente debes rechazarte y alejarte. Los rublos son & amp; # x2019; t vale mucho de todos modos.
& amp; # x203A; Matemáticas
