Una estrategia en matemáticas es comenzar con algunas declaraciones, luego construir más matemáticas a partir de estas declaraciones. Las declaraciones iniciales se conocen como axiomas. Un axioma es típicamente algo que es matemáticamente evidente. De una lista relativamente corta de axiomas, la lógica deductiva se usa para probar otras declaraciones, llamadas teoremas o proposiciones.
El área de las matemáticas conocida como probabilidad no es diferente. La probabilidad se puede reducir a tres axiomas. Esto fue hecho por primera vez por el matemático Andrei Kolmogorov. El puñado de axiomas que son de probabilidad subyacente se puede usar para deducir todo tipo de resultados. Pero, ¿cuáles son estos axiomas de probabilidad??
Definiciones y preliminares
Para comprender los axiomas para la probabilidad, primero debemos discutir algunas definiciones básicas. Suponemos que tenemos un conjunto de resultados llamado espacio de muestra S. & amp; amp; nbsp; Este espacio de muestra puede considerarse como el conjunto universal para la situación que estamos estudiando. El espacio de muestra se compone de subconjuntos llamados eventos E 1, E 2, . . ., En .& amp; amp; nbsp;
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También suponemos que hay una forma de asignar una probabilidad a cualquier evento E . Esto puede considerarse como una función que tiene un conjunto para una entrada y un número real como salida. La probabilidad del evento E se denota por P ( E ).
Axioma uno
El primer axioma de probabilidad es que la probabilidad de cualquier evento es un número real no negativo. Esto significa que el más pequeño que puede ser una probabilidad es cero y que no puede ser infinito. El conjunto de números que podemos usar son números reales. Esto se refiere tanto a números racionales, también conocidos como fracciones, como a números irracionales que no pueden escribirse como fracciones.
Una cosa a tener en cuenta es que este axioma no dice nada sobre cuán grande puede ser la probabilidad de un evento. El axioma elimina la posibilidad de probabilidades negativas. Refleja la noción de que la probabilidad más pequeña, reservada para eventos imposibles, es cero.
Axioma dos
El segundo axioma de probabilidad es que la probabilidad de todo el espacio de muestra es una. Simbólicamente escribimos P ( S ) = 1. Implícito en este axioma está la noción de que el espacio de muestra es todo lo posible para nuestro experimento de probabilidad y que no hay eventos fuera del espacio de muestra.
Por sí solo, este axioma no establece un límite superior en las probabilidades de eventos que no son todo el espacio de muestra. Refleja que algo con absoluta certeza tiene una probabilidad del 100%.
Axioma tres
El tercer axioma de probabilidad trata con eventos mutuamente excluyentes. Si MI 1 y MI 2 son mutuamente excluyentes, lo que significa que tienen una intersección vacía y usamos U para denotar la unión, entonces PAGS ( MI 1 U MI 2) ) = PAGS ( MI 1)) + PAGS ( MI 2)).
El axioma en realidad cubre la situación con varios eventos (incluso infinitamente contables), cada par de los cuales son mutuamente excluyentes. Mientras esto ocurra, la probabilidad de la unión de los eventos es la misma que la suma de las probabilidades:
P ( E 1 U E 2 U . . . U En ) = P ( E 1) + P ((tix _1 . . . + En
Aunque este tercer axioma puede no parecer tan útil, veremos que, combinado con los otros dos axiomas, es bastante poderoso.
Aplicaciones de axioma
Los tres axiomas establecen un límite superior para la probabilidad de cualquier evento. Denotamos el complemento del evento E por E C. De la teoría de conjuntos, E y E C mutuamente vacío. Además E U E C = S , todo el espacio de muestra.
Estos hechos, combinados con los axiomas nos dan:
1 = P ( S ) = P ( E U (tixag_1 .
Reorganizamos la ecuación anterior y vemos que P ( E ) = 1 – P ( E . Como sabemos que las probabilidades deben ser no negativas, ahora tenemos que un límite superior para la probabilidad de cualquier evento es 1.
Al reorganizar la fórmula nuevamente tenemos P ( EC ) = 1 – P ( E . También podemos deducir de esta fórmula que la probabilidad de que un evento no ocurra es una menos la probabilidad de que ocurra.
La ecuación anterior también nos proporciona una forma de calcular la probabilidad del evento imposible, denotada por el conjunto vacío. Para ver esto, recuerde que el conjunto vacío es el complemento del conjunto universal, en este caso S C. Desde 1 = PAGS ( S ) + PAGS ( S C) = 1 + PAGS ( S C) por álgebra tenemos PAGS ( S C) = 0.
Aplicaciones adicionales
Lo anterior son solo un par de ejemplos de propiedades que se pueden probar directamente desde los axiomas. Hay muchos más resultados en probabilidad. Pero todos estos teoremas son extensiones lógicas de los tres axiomas de probabilidad.
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