Es importante saber cómo calcular la probabilidad de un evento.& amp; amp; nbsp; Ciertos tipos de eventos en probabilidad se denominan independientes.& amp; amp; nbsp; cuando tenemos un par de eventos independientes, a veces podemos preguntar, & amp; quot; ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ambos eventos??& amp; quot; & amp; amp; nbsp; En esta situación, simplemente podemos multiplicar nuestras dos & amp; amp; nbsp; probabilidades juntas.
Veremos cómo utilizar la regla de multiplicación para eventos independientes.& amp; amp; nbsp; Después de haber repasado lo básico, veremos los detalles de un par de cálculos.
Definición de eventos independientes
Comenzamos con una definición de eventos independientes.& amp; amp; nbsp; Con probabilidad, dos eventos son independientes si el resultado de un evento no influye en el resultado del segundo evento.
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Un buen ejemplo de un par de eventos independientes es cuando lanzamos un dado y luego lanzamos una moneda.& amp; amp; nbsp; El número que se muestra en el dado no tiene ningún efecto sobre la moneda que se arrojó.& amp; amp; nbsp; Por lo tanto, estos dos eventos son independientes.
Un ejemplo de un par de eventos que no son independientes sería el género de cada bebé en un conjunto de gemelos.& amp; amp; nbsp; Si los gemelos son idénticos, ambos serán hombres, o ambos serían mujeres.
Declaración de la regla de multiplicación
La regla de multiplicación para eventos independientes relaciona las probabilidades de dos eventos con la probabilidad de que ambos ocurran.& amp; amp; nbsp; Para usar la regla, necesitamos tener las probabilidades de cada uno de los eventos independientes.& amp; amp; nbsp; Dada esta regla de multiplicación, la regla de multiplicación establece la probabilidad de que ocurran ambos eventos al multiplicar las probabilidades de cada evento.
Fórmula para la regla de multiplicación
La regla de multiplicación es mucho más fácil de establecer y trabajar cuando usamos notación matemática.
Denote eventos A y B y las probabilidades de cada uno por P (A) y P (B) . Si A y B & amp; amp; nbsp; son eventos independientes, entonces:
& lt; br & gt ;
P (A y B) = P (A) x P (B)
& lt; / br & gt ;
Algunas versiones de esta fórmula usan aún más símbolos.& amp; amp; nbsp; en lugar de la palabra & amp; quot; y & amp; quot; en su lugar, podemos usar el símbolo de intersección: & amp; amp; nbsp; & amp; # x2229 ;. A veces, esta fórmula se usa como definición de eventos independientes.& amp; amp; nbsp; Los eventos son independientes si y solo si P (A y B) = P (A) x P (B) .
Ejemplo # 1 del uso de la regla de multiplicación
Veremos cómo usar la regla de multiplicación mirando algunos ejemplos.& amp; amp; nbsp; Primero suponga que tiramos un dado de seis lados y luego lanzamos una moneda.& amp; amp; nbsp; Estos dos eventos son independientes. La probabilidad de rodar un 1 es 1/6. La probabilidad de una cabeza es 1/2. La probabilidad de rodar un 1 y obteniendo una cabeza es 1/6 x 1/2 = 1/12.
Si nos inclinamos a ser escépticos sobre este resultado, este ejemplo es lo suficientemente pequeño como para que se puedan enumerar todos los resultados: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (.& amp; amp; nbsp; Vemos que hay doce resultados, todos los cuales son igualmente propensos a ocurrir.& amp; amp; nbsp; Por lo tanto, la probabilidad de 1 y una cabeza es 1/12.& amp; amp; nbsp; La regla de multiplicación fue mucho más eficiente porque no requería que enumeráramos todo nuestro espacio de muestra.
Ejemplo # 2 del uso de la regla de multiplicación
Para el segundo ejemplo, suponga que sacamos una carta de un mazo estándar, reemplace esta carta, baraje el mazo y luego vuelva a dibujar.& amp; amp; nbsp; Luego preguntamos cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. Como hemos dibujado con reemplazo, estos eventos son independientes y se aplica la regla de multiplicación.& amp; amp; nbsp;
La probabilidad de dibujar un rey para la primera carta es 1/13.& amp; amp; nbsp; La probabilidad de dibujar un rey en el segundo sorteo es 1/13.& amp; amp; nbsp; La razón de esto es que estamos reemplazando al rey que dibujamos por primera vez.& amp; amp; nbsp; Dado que estos eventos son independientes, utilizamos la regla de multiplicación para ver que la probabilidad de dibujar dos reyes viene dada por el siguiente producto 1/13 x 1/13 = 1/169.
Si no reemplazáramos al rey, tendríamos una situación diferente en la que los eventos no serían independientes.& amp; amp; nbsp; La probabilidad de dibujar un rey en la segunda carta estaría influenciada por el resultado de la primera carta.
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