Una introducción a la teoría de las colas

La teoría de la cola es el estudio matemático de la cola o la espera en las filas. Las colas contienen clientes (o & amp; # x201C; items & amp; # x201D;) como personas, objetos o información.Colas y amp; amp; nbsp; form cuando hay recursos limitados para proporcionar un servicio . Por ejemplo, si hay 5 cajas registradoras en una tienda de comestibles, se formarán colas si más de 5 clientes desean pagar sus artículos al mismo tiempo.

Un sistema básico de colas consiste en un proceso de llegada (cómo llegan los clientes a la cola, cuántos clientes están presentes en total), la cola en sí, el proceso de servicio para atender a esos clientes y las salidas del sistema.

Los modelos de colas matemáticas a menudo se usan en software y negocios para determinar la mejor manera de usar recursos limitados. Los modelos en cola pueden responder preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere 10 minutos en línea?? ¿Cuál es el tiempo de espera promedio por cliente??& amp; amp; nbsp;

Video destacado

Las siguientes situaciones son ejemplos de cómo se puede aplicar la teoría de colas:

• Esperando en línea en un banco o una tienda
• Esperando a que un representante de servicio al cliente responda una llamada después de que la llamada se haya puesto en espera
• Esperando a que llegue un tren
• Esperando a que una computadora realice una tarea o responda
• Esperando un lavado de autos automatizado para limpiar una línea de autos

Caracterización de un sistema de colas

Hacer cola con modelos y amp; amp; nbsp; analice cómo los clientes (incluidas las personas, los objetos y la información) reciben un servicio. Un sistema de colas contiene:

• Proceso de llegada . El proceso de llegada es simplemente cómo llegan los clientes. Pueden entrar en una cola solos o en grupos, y pueden llegar a ciertos intervalos o al azar.
• Comportamiento . How & amp; amp; nbsp; los clientes se comportan cuando están en línea? Algunos podrían estar dispuestos a esperar su lugar en la cola; otros pueden volverse impacientes y irse. Sin embargo, otros podrían decidir volver a unirse a la cola más tarde, como cuando se ponen en espera con el servicio al cliente y deciden volver a llamar con la esperanza de recibir un servicio más rápido.& amp; amp; nbsp;
• Cómo se atiende a los clientes . Esto incluye el tiempo que un cliente recibe servicio, la cantidad de servidores disponibles para ayudar a los clientes, si los clientes son atendidos uno por uno o en lotes, y el orden en que los clientes reciben servicio, también llamado disciplina de servicio .
• La disciplina de servicio se refiere a la regla por la cual se selecciona el siguiente cliente. Aunque muchos escenarios minoristas & amp; amp; nbsp; emplean el & amp; # x201C; primero viene, primero servido & amp; # x201D; regla, otras situaciones pueden requerir otros tipos de servicio. Por ejemplo, los clientes pueden ser atendidos en orden de prioridad o en función de la cantidad de artículos que necesitan ser atendidos (como en un carril expreso en una tienda de comestibles). A veces, el & amp; amp; nbsp; el último cliente en llegar se servirá primero (como en el caso en una pila de platos sucios, donde el que está encima será el primero en lavarse).
• Sala de espera. El número de clientes que pueden esperar en la cola puede estar limitado en función del espacio disponible.

Matemáticas de la teoría de la cola

Kendall & amp; # x2019; s notación es una notación abreviada que especifica los parámetros de un modelo básico de colas. La notación de Kendall & amp; # x2019; s se escribe en el formulario A / S / c / B / N / D, donde cada una de las letras representa diferentes parámetros.

• El término A describe cuándo los clientes llegan a la cola & amp; # x2013; en particular, el tiempo entre llegadas o tiempos de interarival . Matemáticamente, este parámetro especifica la distribución de probabilidad que siguen los tiempos de interarival. Una distribución de probabilidad común utilizada para el término A es la distribución de Poisson.
• El término S describe cuánto tiempo le toma a un cliente recibir servicio después de que sale de la cola. Matemáticamente, este parámetro especifica la distribución de probabilidad que siguen estos tiempos de servicio . La distribución de Poisson también se usa comúnmente para el término S.
• El término c especifica el número de servidores en el sistema de colas. El modelo supone que todos los servidores del sistema son idénticos, por lo que todos pueden describirse por el término S anterior.
• El término B especifica el número total de elementos que pueden estar en el sistema e incluye elementos que aún están en la cola y aquellos que están siendo atendidos. Aunque muchos sistemas en el mundo real tienen una capacidad limitada, el modelo es más fácil de analizar si esta capacidad se considera infinita. En consecuencia, si la capacidad de un sistema es lo suficientemente grande, comúnmente se supone que el sistema es infinito.
• El término N especifica el número total de clientes potenciales & amp; # x2013; es decir., el número de clientes que podrían ingresar al sistema de colas & amp; # x2013; que puede considerarse finito o infinito.
• El término D especifica la disciplina de servicio del sistema de colas, como el primero en llegar o el último en entrar en primer lugar.

La ley de Little & amp; # x2019; s , que fue probada por primera vez por el matemático John Little, establece que el número promedio de elementos en una cola se puede calcular multiplicando la tasa promedio a la que los artículos llegan al sistema por la cantidad promedio de tiempo que pasan en él.

• En notación matemática, la ley de Little & amp; apos; s es: L = & amp; # x3BB; W
• L es el número promedio de artículos, & amp; # x3BB; es la tasa de llegada promedio de los artículos en el sistema de colas, y W es la cantidad promedio de tiempo que los artículos pasan en el sistema de colas.
• La ley de Little & amp; # x2019; asume que el sistema está en un & amp; # x201C; estado estacionario & amp; # x201D; &erio; # x2013; Las variables matemáticas que caracterizan el sistema no cambian con el tiempo.

Aunque la ley de Little & amp; # x2019; solo necesita tres entradas, es bastante general y se puede aplicar a muchos sistemas de colas, independientemente de los tipos de elementos en la cola o la forma en que se procesan los elementos en la cola. La ley de Little & amp; # x2019; s puede ser útil para analizar cómo se ha realizado una cola durante algún tiempo, o para evaluar rápidamente cómo se está realizando actualmente una cola.

Por ejemplo: una compañía de cajas de zapatos quiere calcular el número promedio de cajas de zapatos que se almacenan en un almacén. La compañía sabe que la tasa promedio de llegada de las cajas al almacén es de 1,000 cajas de zapatos / año, y que el tiempo promedio que pasan en el almacén es de aproximadamente 3 meses, o & amp; # xBC; de un año. Por lo tanto, el número promedio de cajas de zapatos en el almacén viene dado por (1000 cajas de zapatos / año) x (& amp; # xBC; año), o 250 cajas de zapatos.

Conclusiones clave

• La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o la espera en las filas.
• Las colas contienen & amp; # x201C; clientes & amp; # x201D; como personas, objetos o información. Las colas se forman cuando hay recursos limitados para proporcionar un servicio.
• La teoría de las colas se puede aplicar a situaciones que van desde & amp; amp; nbsp; esperando en la fila de la tienda de comestibles para esperar a que una computadora realice una tarea. A menudo se usa en software y aplicaciones comerciales para determinar la mejor manera de usar recursos limitados.
• La notación de Kendall & amp; # x2019; s se puede usar para especificar los parámetros de un sistema de colas.
• La ley de Little & amp; # x2019; s es una expresión simple pero general que puede proporcionar una estimación rápida del número promedio de elementos en una cola.

Fuentes

• Beasley, J. E. & amp; # x201C; Teoría de la cola.& amp; # x201D ;
• Boxma, O. J. & amp; # x201C; Modelado de rendimiento estocástico.&erio; # x201D; 2008.
• Lilja, D. Medición del rendimiento de la computadora: un profesional y amp; # x2019; s Guide , 2005.
• Little, J. y Graves, S. & amp; # x201C; Capítulo 5: Little & amp; # x2019; s ley.& amp; # x201D; En Intuición de construcción: Perspectivas de los modelos y principios básicos de gestión de operaciones . Springer Science + Business Media, 2008.
• Mulholland, B. & amp; # x201C; Little & amp; # x2019; s ley: cómo analizar sus procesos (con bombarderos sigilosos).&erio; # x201D; Process.st , 2017.

& amp; # x203A; Matemáticas